04. Πρόσθεση και αφαίρεση ευθύγραμμων τμημάτων

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

21 Μάρτιος 2026

Τροποποιημένο

22 Μάρτιος 2026

Η πρόσθεση και η αφαίρεση των ευθυγράμμων τμημάτων αποτελούν τις βασικές γεωμετρικές πράξεις που επιτρέπουν τον συνδυασμό μηκών και τη μελέτη πιο σύνθετων σχημάτων, όπως η περίμετρος των πολυγώνων.

0.1 Θεωρητικό Πλαίσιο

1. Πρόσθεση Ευθυγράμμων Τμημάτων

  • Γεωμετρική Διαδικασία: Για να προσθέσουμε δύο ευθύγραμμα τμήματα \(AB\) και \(\Gamma\Delta\), τα τοποθετούμε διαδοχικά πάνω σε μία ευθεία ή ημιευθεία.
  • Πρακτικά, χρησιμοποιώντας διαβήτη, σχεδιάζουμε μια ημιευθεία με αρχή \(O\) και μεταφέρουμε το τμήμα \(AB\) (ορίζοντας το \(OK = AB\)) και στη συνέχεια, με αρχή το \(K\), μεταφέρουμε το τμήμα \(\Gamma\Delta\) (ορίζοντας το \(KL = \Gamma\Delta\)). Το συνολικό τμήμα \(OL\) αποτελεί το γεωμετρικό άθροισμα (\(OL = AB + \Gamma\Delta\)).


Πρόσθεση τμημάτων

  • Ιδιότητες: Στην πρόσθεση τμημάτων ισχύουν οι κανόνες της Αριθμητικής, δηλαδή η αντιμεταθετική (\(AB + \Gamma\Delta = \Gamma\Delta + AB\)) και η προσεταιριστική ιδιότητα.

2. Αφαίρεση Ευθυγράμμων Τμημάτων

  • Γεωμετρική Διαδικασία: Για να αφαιρέσουμε το μικρότερο τμήμα \(AB\) από το μεγαλύτερο \(\Gamma\Delta\), τα τοποθετούμε πάνω σε μία ημιευθεία με κοινή αρχή.
  • Το τμήμα που ξεκινά από το τέλος του μικρότερου και καταλήγει στο τέλος του μεγαλύτερου αποτελεί τη διαφορά τους. Εναλλακτικά, αν μεταφέρουμε το \(AB\) =ΟΚ και το \(\Gamma\Delta\) =ΟL τότε το τμήμα \(KL\) είναι η διαφορά ΓΔ-ΑΒ.

Διαφορά τμημάτων
  • Αν τα τμήματα είναι ίσα (\(AB = \Gamma\Delta\)), τότε η διαφορά τους ονομάζεται μηδενικό ευθύγραμμο τμήμα, καθώς τα άκρα του ταυτίζονται και το μήκος του είναι μηδέν.

3. Εφαρμογή: Περίμετρος

* Η περίμετρος ενός ευθυγράμμου σχήματος είναι το άθροισμα των μηκών όλων των πλευρών του, αποτελώντας την κυριότερη εφαρμογή της πρόσθεσης ευθυγράμμων τμημάτων.

0.2 Ασκήσεις και Εφαρμογές

Ακολουθούν ενδεικτικά παραδείγματα :

  1. Υπολογισμός διαδοχικών τμημάτων: Πάνω σε μια ευθεία παίρνουμε τα διαδοχικά σημεία \(A, B\) και \(\Gamma\) έτσι ώστε \(AB = 6 cm\) και \(A\Gamma = 10 cm\). Βρείτε το μήκος του \(B\Gamma\).
    • Λύση: Το τμήμα \(B\Gamma\) βρίσκεται από τη διαφορά: \(B\Gamma = A\Gamma - AB = 10 - 6 = 4 cm\).
  2. Σύνθεση με μέσο τμήματος: Αν στο προηγούμενο παράδειγμα το \(M\) είναι το μέσο του \(AB\), να υπολογιστεί το μήκος του τμήματος \(M\Gamma\).
    • Λύση: Το \(MB\) είναι το μισό του \(AB\), δηλαδή \(3 cm\). Το \(M\Gamma\) προκύπτει από το άθροισμα: \(M\Gamma = MB + B\Gamma = 3 + 4 = 7 cm\).
  3. Αντικείμενες Ημιευθείες: Θεωρούμε δύο αντικείμενες ημιευθείες \(Ox\) και \(O\psi\). Στην \(Ox\) παίρνουμε το σημείο \(A\) με \(OA = 3 cm\) και στην \(O\psi\) το σημείο \(\Gamma\) με \(O\Gamma = 2 cm\). Βρείτε την απόσταση \(A\Gamma\).
    • Λύση: Επειδή οι ημιευθείες είναι αντικείμενες, το \(O\) βρίσκεται ανάμεσα στα σημεία. Άρα η συνολική απόσταση είναι το άθροισμα: \(A\Gamma = AO + O\Gamma = 3 + 2 = 5 cm\).
  4. Άσκηση Κρίσεως (Πολλαπλές Λύσεις): Πάνω σε μια ευθεία βρίσκονται τα σημεία \(A\) και \(\Gamma\) με \(A\Gamma = 8 cm\) και το μέσο τους \(M\). Αν ένα σημείο \(B\) απέχει \(2 cm\) από το \(M\), βρείτε τα μήκη \(AB\) και \(B\Gamma\).
    • Ανάλυση: Υπάρχουν δύο περιπτώσεις ανάλογα με τη θέση του \(B\):
      • Αν το \(B\) είναι ανάμεσα στα \(A\) και \(M\), τότε \(AB = AM - BM = 4 - 2 = 2 cm\) και \(B\Gamma = BM + M\Gamma = 2 + 4 = 6 cm\).
      • Αν το \(B\) είναι ανάμεσα στα \(M\) και \(\Gamma\), τότε \(AB = AM + MB = 4 + 2 = 6 cm\) και \(B\Gamma = M\Gamma - MB = 4 - 2 = 2 cm\).

Ακολουθεί μια συλλογή ασκήσεων για την πρόσθεση και αφαίρεση ευθυγράμμων τμημάτων, ταξινομημένη ανά επίπεδο δυσκολίας:

0.3 1. Ασκήσεις Βασικών Υπολογισμών

  • Διαδοχικά σημεία: Πάνω σε μια ευθεία παίρνουμε τα διαδοχικά σημεία \(A, B\) και \(\Gamma\) έτσι ώστε \(AB = 6\text{ cm}\) και \(A\Gamma = 10\text{ cm}\). Αν \(M\) είναι το μέσο του \(AB\), να υπολογίσετε τα μήκη των τμημάτων \(B\Gamma\), \(AM\) και \(M\Gamma\).

  • Λύση: \(B\Gamma = A\Gamma - AB = 10 - 6 = 4\text{ cm}\). \(AM = AB / 2 = 3\text{ cm}\). \(M\Gamma = MB + B\Gamma = 3 + 4 = 7\text{ cm}\).

  • Πολλαπλά διαδοχικά σημεία: Σε μία ευθεία παίρνουμε με τη σειρά τα σημεία \(A, B, \Gamma, \Delta, E\) ώστε \(AB=2\text{ cm}\), \(B\Gamma=4\text{ cm}\), \(\Gamma\\Delta=1\text{ cm}\) και \(\Delta E=5\text{ cm}\).

    • α) Συγκρίνετε τα τμήματα \(A\Gamma\) με το \(B\Delta\) και το \(BE\) με το \(A\Delta\).

    • β) Ποιο σημείο είναι το μέσο του \(AE\);

  • Τεθλασμένη γραμμή: Σχεδιάστε μια τεθλασμένη γραμμή \(AB\Gamma\Delta\) έτσι ώστε \(B\Gamma = 4AB\) και \(\Gamma\Delta = 2AB\). Αν το μήκος \(B\Gamma\) είναι \(8\text{ cm}\), βρείτε το συνολικό μήκος της τεθλασμένης γραμμής.

    • Υπόδειξη: Πρώτα υπολογίστε το \(AB\) (\(8 : 4 = 2\text{ cm}\)) και μετά το \(\Gamma\Delta\) (\(2 \times 2 = 4\text{ cm}\)).

0.4 2. Ασκήσεις σε Ημιευθείες και Αντικείμενες Ημιευθείες

  • Πρόσθεση σε αντικείμενες ημιευθείες: Θεωρούμε δύο αντικείμενες ημιευθείες \(Ox\) και \(O\psi\). Στην \(Ox\) παίρνουμε σημεία \(A\) και \(B\) με \(OA = 3\text{ cm}\) και \(OB = 7\text{ cm}\). Στην \(O\psi\) παίρνουμε σημείο \(\Gamma\) με \(O\Gamma = 2\text{ cm}\). Να βρεθούν οι αποστάσεις \(\Gamma A\) και \(\Gamma B\).

  • Λύση: Επειδή οι ημιευθείες είναι αντικείμενες, το \(O\) είναι ανάμεσα στα σημεία. Άρα \(\Gamma A = \Gamma O + OA = 2 + 3 = 5\text{ cm}\) και \(\Gamma B = \Gamma O + OB = 2 + 7 = 9\text{ cm}\).

  • Μέσο σε ημιευθεία: Σε μια ημιευθεία \(Ox\) παίρνουμε τα σημεία \(A\) και \(B\) έτσι ώστε \(OA = 1,6\text{ cm}\) και \(OB = 3\text{ cm}\). Αν \(M\) είναι το μέσο του \(AB\), να βρεθεί το μήκος του \(OM\).

    • Λύση: \(AB = OB - OA = 1,4\text{ cm}\). Το \(AM = 1,4 : 2 = 0,7\text{ cm}\). Τότε \(OM = OA + AM = 1,6 + 0,7 = 2,3\text{ cm}\).

0.5 3. Ασκήσεις Κρίσεως και Πολλαπλών Λύσεων

  • Περίπτωση με δύο λύσεις: Πάνω σε μια ευθεία παίρνουμε τα σημεία \(A\) και \(\Gamma\) με απόσταση \(A\Gamma = 8\text{ cm}\) και το μέσο τους \(M\). Αν ένα σημείο \(B\) της ευθείας απέχει \(2\text{ cm}\) από το \(M\), να βρεθούν τα μήκη των \(AB\) και \(B\Gamma\).

  • Ανάλυση: Υπάρχουν δύο περιπτώσεις για τη θέση του \(B\) (είτε προς το μέρος του \(A\) είτε προς το μέρος του \(\Gamma\)).

  • Σύνθετη αφαίρεση: Στο ευθύγραμμο τμήμα \(AB = 16\text{ cm}\) παίρνουμε τα σημεία \(\Gamma, \Delta\) και \(O\) τέτοια ώστε \(AB = 4A\Gamma\), \(\Gamma B = 4\Delta B\) και \(O\) το μέσο του \(\Gamma\Delta\). Βρείτε το μήκος του \(O\Delta\) και το μήκος του \(AM\), αν \(M\) είναι το μέσο του \(AO\).

0.6 4. Ασκήσεις Θεωρητικής Επαλήθευσης

  • Ιδιότητα αθροίσματος: Σε ευθεία \(\epsilon\) παίρνουμε τα διαδοχικά σημεία \(A, B, \Gamma\) και \(\Delta\) ώστε \(AB = \Gamma\Delta\). Δικαιολογήστε γιατί \(A\Gamma = B\Delta\).

    • Απόδειξη: \(A\Gamma = AB + B\Gamma\) και \(B\Delta = B\Gamma + \Gamma\Delta\). Αφού \(AB = \Gamma\Delta\), τα αθροίσματα είναι ίσα.

  • Σχέση μέσων και συνολικού μήκους: Σε ευθεία \(\epsilon\) παίρνουμε τα διαδοχικά σημεία \(A, B\) και \(\Gamma\). Αν \(M\) και \(N\) είναι τα μέσα των \(AB\) και \(B\Gamma\) αντίστοιχα, δικαιολογήστε ότι \(A\Gamma = 2MN\).

    • Απόδειξη: \(MN = MB + BN = \frac{AB}{2} + \frac{B\Gamma}{2} = \frac{AB + B\Gamma}{2} = \frac{A\Gamma}{2}\).

Πρακτική συμβουλή: Κατά την επίλυση, είναι σημαντικό να γράφετε τις μονάδες μέτρησης σε όλες τις πράξεις και όχι μόνο στο αποτέλεσμα. Επίσης, τα σχήματα πρέπει να γίνονται με χάρακα και τα γράμματα να είναι οριζόντια για να αποφεύγονται παρερμηνείες (π.χ. το \(M\) να μη μοιάζει με \(\Sigma\)).

Πρακτική Συμβουλή: Κατά την επίλυση ασκήσεων, είναι απαραίτητο να αναγράφονται οι μονάδες μέτρησης (π.χ. cm, m) σε όλα τα βήματα των πράξεων για την αποφυγή λαθών.

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ !