04. Πρόσθεση και αφαίρεση ευθύγραμμων τμημάτων

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

21 Μάρτιος 2026

Τροποποιημένο

15 Οκτώβριος 2026

1 Πρόσθεση και αφαίρεση ευθυγράμμων τμημάτων

1.1 Πρόσθεση και Αφαίρεση Ευθυγράμμων Τμημάτων

1.1.1 Θεωρία – Ορισμοί – Ιδιότητες

  • Πρόσθεση δύο τμημάτων: Για να προσθέσουμε δύο ευθύγραμμα τμήματα \(ΑΒ\) και \(\Gamma\Delta\), τα μεταφέρουμε πάνω σε μία ευθεία \(\chi'\chi\) έτσι ώστε να γίνουν διαδοχικά, δηλαδή η αρχή \(\Gamma\) του δεύτερου να συμπέσει με το τέλος \(Β\) του πρώτου. Το ευθύγραμμο τμήμα \(Α\Delta= A_1Δ_1\) που ορίζεται από τα άκρα των δύο τμημάτων ονομάζεται άθροισμα και συμβολίζεται: \(ΑΒ + \Gamma\Delta = Α\Delta\).

  • Πρόσθεση πολλών τμημάτων: Γίνεται με τη διαδοχική πρόσθεση κάθε νέου τμήματος στο άθροισμα των προηγουμένων.

  • Αφαίρεση τμημάτων: Για να αφαιρέσουμε ένα τμήμα \(\Gamma\Delta\) από ένα μεγαλύτερο \(ΑΒ\), τα τοποθετούμε έτσι ώστε οι αρχές τους \(Α\) και \(\Gamma\) να συμπίπτουν πάνω στον ίδιο φορέα. Το τμήμα που περισσεύει ονομάζεται διαφορά. Εναλλακτικά, μπορούμε να ταυτίσουμε τα τέλη τους \(Β\) και \(\Delta\), οπότε η διαφορά είναι το τμήμα που απομένει στην αρχή.

  • Αν τα τμήματα είναι ίσα (\(AB = \Gamma\Delta\)), τότε η διαφορά τους ονομάζεται μηδενικό ευθύγραμμο τμήμα, καθώς τα άκρα του ταυτίζονται και το μήκος του είναι μηδέν.

  • Σχέση με το μήκος: Το μήκος του αθροίσματος δύο τμημάτων ισούται με το άθροισμα των μηκών τους, ενώ το μήκος της διαφοράς ισούται με τη διαφορά των μηκών τους.

  • Περιορισμός αφαίρεσης: Στη γεωμετρία, η αφαίρεση \(ΑΒ - \Gamma\Delta\) είναι δυνατή μόνο όταν το \(ΑΒ\) είναι μεγαλύτερο ή ίσο του \(\Gamma\Delta\) (\(ΑΒ \ge \Gamma\Delta\)).

  • Ιδιότητες Πρόσθεσης:

    1. Αντιμεταθετική: Η σειρά των τμημάτων δεν αλλάζει το άθροισμα (\(ΑΒ + \Gamma\Delta = \Gamma\Delta + ΑΒ\)).
    2. Προσεταιριστική: Μπορούμε να ομαδοποιούμε τα τμήματα όπως θέλουμε (\((ΑΒ + \Gamma\Delta) + ΕΖ = ΑΒ + (\Gamma\Delta + ΕΖ)\)).
    3. Ουδέτερο στοιχείο: Το μηδενικό τμήμα (σημείο) δεν αλλάζει το άθροισμα.

  • Η περίμετρος ενός ευθυγράμμου σχήματος είναι το άθροισμα των μηκών όλων των πλευρών του, αποτελώντας την κυριότερη εφαρμογή της πρόσθεσης ευθυγράμμων τμημάτων.

1.1.2 Παραδείγματα

  1. Κατασκευή Αθροίσματος: Αν έχουμε \(ΑΒ = 3\text{cm}\) και \(\Gamma\Delta = 5\text{cm}\), τοποθετώντας τα διαδοχικά σε μια ευθεία, το συνολικό τμήμα \(Α\Delta\) θα έχει μήκος \(3 + 5 = 8\text{cm}\).

  2. Χρήση Διαβήτη: Με τον διαβήτη παίρνουμε το μήκος του \(ΑΒ\), το μεταφέρουμε σε μια ευθεία \(\chi'\chi\) και από το σημείο που τελειώνει (τέλος) μεταφέρουμε το μήκος του \(\Gamma\Delta\).

  3. Κατασκευή Διαφοράς: Αν \(ΑΒ = 10\text{cm}\) και \(\Gamma\Delta = 4\text{cm}\), τοποθετούμε το \(\Gamma\Delta\) πάνω στο \(ΑΒ\) με κοινή αφετηρία. Το τμήμα που «περισσεύει» έχει μήκος \(10 - 4 = 6\text{cm}\).

  4. Σύνθετη Πράξη: Αν ζητείται το τμήμα \(\chi = 2\alpha - \beta\), τοποθετούμε δύο φορές διαδοχικά το τμήμα \(\alpha\) και από το άκρο του αφαιρούμε το \(\beta\).

  5. Μηδενική Διαφορά: Αν αφαιρέσουμε ένα τμήμα \(ΑΒ\) από τον εαυτό του (\(ΑΒ - ΑΒ\)), το αποτέλεσμα είναι το μηδενικό τμήμα, δηλαδή ένα σημείο.

1.1.3 Ασκήσεις

  1. Σχεδιάστε δύο τμήματα \(ΑΒ = 4\text{cm}\) και \(\Gamma\Delta = 3\text{cm}\). Κατασκευάστε το άθροισμά τους \(ΑΒ + \Gamma\Delta\) και μετρήστε το τελικό μήκος.

  2. Πάρτε τρία τμήματα \(\alpha, \beta, \gamma\). Σχεδιάστε το άθροισμα \((\alpha + \beta) + \gamma\) και το \(\alpha + (\beta + \gamma)\). Είναι ίσα;.

  3. Δίνεται τμήμα \(ΑΒ = 9\text{cm}\) και τμήμα \(\Gamma\Delta = 5\text{cm}\). Κατασκευάστε τη διαφορά τους \(ΑΒ - \Gamma\Delta\) και βρείτε το μήκος της με χάρακα.

  4. Πάνω σε μια ημιευθεία \(Ο\chi\) πάρτε διαδοχικά τα σημεία \(Α, Β, \Gamma\) ώστε \(ΟΑ = 2\text{cm}, ΑΒ = 3\text{cm}\) και \(Β\Gamma = 4\text{cm}\). Υπολογίστε το μήκος του \(Ο\Gamma\).

  5. Αν \(Α, Β, \Gamma\) είναι διαδοχικά σημεία μιας ευθείας, δείξτε ότι \(Α\Gamma - Β\Gamma = ΑΒ\).

  6. Χρησιμοποιήστε διαφανές χαρτί για να μεταφέρετε και να προσθέσετε τρία τυχαία τμήματα που σχεδιάσατε στο τετράδιό σας.

  7. Δίνονται τμήματα με μήκη \(15\text{mm}, 4\text{cm}\) και \(2\text{cm}\). Κατασκευάστε το άθροισμά τους και εκφράστε το σε \(\text{cm}\).

  8. Αν \(ΑΒ = \Gamma\Delta\), αποδείξτε χρησιμοποιώντας τον νόμο της διαγραφής ότι \(ΑΒ + Β\Gamma = \Gamma\Delta + Β\Gamma\).

  9. Σχεδιάστε ένα τμήμα \(ΑΒ = 8\text{cm}\) και βρείτε το μέσο του \(Μ\). Αποδείξτε με μέτρηση ότι \(ΑΜ + ΜΒ = ΑΒ\).

  10. Πάνω σε μια ευθεία πάρτε τα σημεία \(Α, Β, \Gamma, \Delta\) στη σειρά. Αν \(Α\Delta = 12\text{cm}\) και \(Β\Gamma = 5\text{cm}\), υπολογίστε το άθροισμα των τμημάτων \(ΑΒ + \Gamma\Delta\).

1.1.4 Ασκήσεις και Εφαρμογές

Ακολουθούν ενδεικτικά παραδείγματα :

  1. Υπολογισμός διαδοχικών τμημάτων: Πάνω σε μια ευθεία παίρνουμε τα διαδοχικά σημεία \(A, B\) και \(\Gamma\) έτσι ώστε \(AB = 6 cm\) και \(A\Gamma = 10 cm\). Βρείτε το μήκος του \(B\Gamma\).

  • Λύση: Το τμήμα \(B\Gamma\) βρίσκεται από τη διαφορά: \(B\Gamma = A\Gamma - AB = 10 - 6 = 4 cm\).
  1. Σύνθεση με μέσο τμήματος: Αν στο προηγούμενο παράδειγμα το \(M\) είναι το μέσο του \(AB\), να υπολογιστεί το μήκος του τμήματος \(M\Gamma\).
    • Λύση: Το \(MB\) είναι το μισό του \(AB\), δηλαδή \(3 cm\). Το \(M\Gamma\) προκύπτει από το άθροισμα: \(M\Gamma = MB + B\Gamma = 3 + 4 = 7 cm\).
  2. Αντικείμενες Ημιευθείες: Θεωρούμε δύο αντικείμενες ημιευθείες \(Ox\) και \(O\psi\). Στην \(Ox\) παίρνουμε το σημείο \(A\) με \(OA = 3 cm\) και στην \(O\psi\) το σημείο \(\Gamma\) με \(O\Gamma = 2 cm\). Βρείτε την απόσταση \(A\Gamma\).
  • Λύση: Επειδή οι ημιευθείες είναι αντικείμενες, το \(O\) βρίσκεται ανάμεσα στα σημεία. Άρα η συνολική απόσταση είναι το άθροισμα: \(A\Gamma = AO + O\Gamma = 3 + 2 = 5 cm\).
  1. Άσκηση Κρίσεως (Πολλαπλές Λύσεις):

Πάνω σε μια ευθεία βρίσκονται τα σημεία \(A\) και \(\Gamma\) με \(A\Gamma = 8 cm\) και το μέσο τους \(M\). Αν ένα σημείο \(B\) απέχει \(2 cm\) από το \(M\), βρείτε τα μήκη \(AB\) και \(B\Gamma\).

Λύση

  • Ανάλυση: Υπάρχουν δύο περιπτώσεις ανάλογα με τη θέση του \(B\):

  • Αν το \(B\) είναι ανάμεσα στα \(A\) και \(M\),

τότε \(AB = AM - BM = 4 - 2 = 2 cm\) και \(B\Gamma = BM + M\Gamma = 2 + 4 = 6 cm\).

  • Αν το \(B\) είναι ανάμεσα στα \(M\) και \(\Gamma\),

τότε \(AB = AM + MB = 4 + 2 = 6 cm\) και \(B\Gamma = M\Gamma - MB = 4 - 2 = 2 cm\).

  1. Εκφώνηση

Να σχεδιάσετε δύο ευθύγραμμα τμήματα, \(AB = 4\,\text{cm}\) και \(K\Lambda = 2{,}5\,\text{cm}\), και να κατασκευάσετε το άθροισμα \(AB + K\Lambda\) και τη διαφορά τους \(AB - K\Lambda\).

Λύση

  • Άθροισμα: \(6{,}5\,\text{cm}\)
  • Διαφορά: \(1{,}5\,\text{cm}\)

Βήματα

  1. Σχεδίαση: Σχεδιάζουμε το τμήμα \(AB\) μήκους \(4\,\text{cm}\) πάνω σε μια ευθεία.

  2. Άθροισμα: Από το σημείο \(B\) και πάνω στην ίδια ευθεία, μεταφέρουμε το τμήμα \(K\Lambda\) μήκους \(2{,}5\,\text{cm}\). Το συνολικό τμήμα που προκύπτει έχει μήκος \(4 + 2{,}5 = 6{,}5\,\text{cm}\).

  3. Διαφορά: Πάνω στο τμήμα \(AB\), με αρχή το \(A\), μεταφέρουμε το τμήμα \(K\Lambda\) (ας το ονομάσουμε \(AM = 2{,}5\,\text{cm}\)). Το υπόλοιπο τμήμα \(MB\) είναι η διαφορά, με μήκος \(4 - 2{,}5 = 1{,}5\,\text{cm}\).

  1. Εκφώνηση

Να σχεδιάσετε μια τεθλασμένη γραμμή με τρεις πλευρές \(AB, B\Gamma, \Gamma\Delta\). Η δεύτερη πλευρά (\(B\Gamma\)) να είναι τετραπλάσια της πρώτης (\(AB\)) και η τρίτη (\(\Gamma\Delta\)) να είναι τριπλάσια της πρώτης. Αν \(AB = 1{,}2\,\text{cm}\), να υπολογίσετε το συνολικό μήκος της τεθλασμένης γραμμής και να επαληθεύσετε το άθροισμα χρησιμοποιώντας την προσεταιριστική ιδιότητα.

Λύση

  • Συνολικό μήκος: \(9{,}6\,\text{cm}\)

Βήματα

  1. Υπολογισμός πλευρών:

    • \(AB = 1{,}2\,\text{cm}\)
    • \(B\Gamma = 4 \cdot AB = 4 \cdot 1{,}2 = 4{,}8\,\text{cm}\)
    • \(\Gamma\Delta = 3 \cdot AB = 3 \cdot 1{,}2 = 3{,}6\,\text{cm}\)

  2. Άθροισμα: \(S = AB + B\Gamma + \Gamma\Delta = 1{,}2 + 4{,}8 + 3{,}6 = 9{,}6\,\text{cm}\).

  3. Προσεταιριστική ιδιότητα:

    • \((AB + B\Gamma) + \Gamma\Delta = (1{,}2 + 4{,}8) + 3{,}6 = 6 + 3{,}6 = 9{,}6\,\text{cm}\).
    • \(AB + (B\Gamma + \Gamma\Delta) = 1{,}2 + (4{,}8 + 3{,}6) = 1{,}2 + 8{,}4 = 9{,}6\,\text{cm}\).
  1. Εκφώνηση

Σημειώστε τρία σημεία \(K, \Lambda, M\) που δεν είναι συνευθειακά. Στη συνέχεια να κατασκευάσετε ευθύγραμμα τμήματα \(XY\) και \(\Omega \Phi\) τέτοια ώστε: \(XY = K\Lambda + \Lambda M + MK\) \(\Omega \Phi = K\Lambda + \Lambda M - KM\)

Λύση

  • Το \(XY\) είναι η περίμετρος του τριγώνου \(K\Lambda M\).
  • Το \(\Omega \Phi\) είναι το άθροισμα των δύο πλευρών μείον την τρίτη.

Βήματα

  1. Σχεδίαση: Σχεδιάζουμε το τρίγωνο \(K\Lambda M\) ενώνοντας τα τρία σημεία.

  2. Κατασκευή \(XY\): Σε μια ευθεία, τοποθετούμε διαδοχικά τα τμήματα \(K\Lambda\), \(\Lambda M\) και \(MK\) το ένα δίπλα στο άλλο. Το τελικό τμήμα \(XY\) ισούται με το άθροισμά τους.

  3. Κατασκευή \(\Omega \Phi\): Τοποθετούμε το τμήμα \(K\Lambda\) και προσθέτουμε το \(\Lambda M\). Από το άθροισμα αυτό, αφαιρούμε (με τη χρήση διαβήτη) το μήκος του τμήματος \(KM\). Το τμήμα που απομένει είναι το \(\Omega \Phi\).

1.1.5 Ασκήσεις Βασικών Υπολογισμών

Διαδοχικά σημεία:

Πάνω σε μια ευθεία παίρνουμε τα διαδοχικά σημεία \(A, B\) και \(\Gamma\) έτσι ώστε \(AB = 6\text{ cm}\) και \(A\Gamma = 10\text{ cm}\). Αν \(M\) είναι το μέσο του \(AB\), να υπολογίσετε τα μήκη των τμημάτων \(B\Gamma\), \(AM\) και \(M\Gamma\).

Λύση

\(B\Gamma = A\Gamma - AB = 10 - 6 = 4\text{ cm}\). \(AM = AB / 2 = 3\text{ cm}\). \(M\Gamma = MB + B\Gamma = 3 + 4 = 7\text{ cm}\).

  • Πολλαπλά διαδοχικά σημεία: Σε μία ευθεία παίρνουμε με τη σειρά τα σημεία \(A, B, \Gamma,\Delta, E\) ώστε \(AB=2\text{ cm}\), \(B\Gamma=4\text{ cm}\), \(\Gamma\Delta=1\text{ cm}\) και \(\Delta E=5\text{ cm}\).

    • α) Συγκρίνετε τα τμήματα \(A\Gamma\) με το \(B\Delta\) και το \(BE\) με το \(A\Delta\).

    • β) Ποιο σημείο είναι το μέσο του \(AE\);

  • Τεθλασμένη γραμμή: Σχεδιάστε μια τεθλασμένη γραμμή \(AB\Gamma\Delta\) έτσι ώστε \(B\Gamma = 4AB\) και \(\Gamma\Delta = 2AB\). Αν το μήκος \(B\Gamma\) είναι \(8\text{ cm}\), βρείτε το συνολικό μήκος της τεθλασμένης γραμμής.

    • Υπόδειξη: Πρώτα υπολογίστε το \(AB\) (\(8 : 4 = 2\text{ cm}\)) και μετά το \(\Gamma\Delta\) (\(2 \times 2 = 4\text{ cm}\)).

1.1.6 Ασκήσεις σε Ημιευθείες και Αντικείμενες Ημιευθείες

Πρόσθεση σε αντικείμενες ημιευθείες:

Θεωρούμε δύο αντικείμενες ημιευθείες \(Ox\) και \(O\psi\). Στην \(Ox\) παίρνουμε σημεία \(A\) και \(B\) με \(OA = 3\text{ cm}\) και \(OB = 7\text{ cm}\). Στην \(O\psi\) παίρνουμε σημείο \(\Gamma\) με \(O\Gamma = 2\text{ cm}\). Να βρεθούν οι αποστάσεις \(\Gamma A\) και \(\Gamma B\).

Λύση

Επειδή οι ημιευθείες είναι αντικείμενες, το \(O\) είναι ανάμεσα στα σημεία. Άρα \(\Gamma A = \Gamma O + OA = 2 + 3 = 5\text{ cm}\) και \(\Gamma B = \Gamma O + OB = 2 + 7 = 9\text{ cm}\).

  • Μέσο σε ημιευθεία: Σε μια ημιευθεία \(Ox\) παίρνουμε τα σημεία \(A\) και \(B\) έτσι ώστε \(OA = 1,6\text{ cm}\) και \(OB = 3\text{ cm}\). Αν \(M\) είναι το μέσο του \(AB\), να βρεθεί το μήκος του \(OM\).

    • Λύση: \(AB = OB - OA = 1,4\text{ cm}\). Το \(AM = 1,4 : 2 = 0,7\text{ cm}\). Τότε \(OM = OA + AM = 1,6 + 0,7 = 2,3\text{ cm}\).

1.1.7 Ασκήσεις Κρίσεως και Πολλαπλών Λύσεων

  • Σύνθετη αφαίρεση: Στο ευθύγραμμο τμήμα \(AB = 16\text{ cm}\) παίρνουμε τα σημεία \(\Gamma, \Delta\) και \(O\) τέτοια ώστε \(AB = 4A\Gamma\), \(\Gamma B = 4\Delta B\) και \(O\) το μέσο του \(\Gamma\Delta\). Βρείτε το μήκος του \(O\Delta\) και το μήκος του \(AM\), αν \(M\) είναι το μέσο του \(AO\).

1.1.8 Ασκήσεις Θεωρητικής Επαλήθευσης

  • Ιδιότητα αθροίσματος: Σε ευθεία \(\epsilon\) παίρνουμε τα διαδοχικά σημεία \(A, B, \Gamma\) και \(\Delta\) ώστε \(AB = \Gamma\Delta\). Δικαιολογήστε γιατί \(A\Gamma = B\Delta\).

    • Απόδειξη: \(A\Gamma = AB + B\Gamma\) και \(B\Delta = B\Gamma + \Gamma\Delta\). Αφού \(AB = \Gamma\Delta\), τα αθροίσματα είναι ίσα.

  • Σχέση μέσων και συνολικού μήκους: Σε ευθεία \(\epsilon\) παίρνουμε τα διαδοχικά σημεία \(A, B\) και \(\Gamma\). Αν \(M\) και \(N\) είναι τα μέσα των \(AB\) και \(B\Gamma\) αντίστοιχα, δικαιολογήστε ότι \(A\Gamma = 2MN\).

    • Απόδειξη: \(MN = MB + BN = \dfrac{AB}{2} + \dfrac{B\Gamma}{2} = \dfrac{AB + B\Gamma}{2} = \dfrac{A\Gamma}{2}\).

Πρακτική συμβουλή: Κατά την επίλυση, είναι σημαντικό να γράφετε τις μονάδες μέτρησης σε όλες τις πράξεις και όχι μόνο στο αποτέλεσμα. Επίσης, τα σχήματα πρέπει να γίνονται με χάρακα και τα γράμματα να είναι οριζόντια για να αποφεύγονται παρερμηνείες (π.χ. το \(M\) να μη μοιάζει με \(\Sigma\)).

ΣημείωσηΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΙ

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ !!!